পূর্ণ সংখ্যা কাকে বলে? পূর্ণ সংখ্যা কত প্রকার ও কি কি?

গণিতে, পূর্ণ সংখ্যা হল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যার সংগ্রহ। পূর্ণ সংখ্যার অনুরূপ, পূর্ণসংখ্যাগুলিও ভগ্নাংশের অংশকে অন্তর্ভুক্ত করে না। সুতরাং, আমরা বলতে পারি, পূর্ণসংখ্যা হল এমন সংখ্যা যা ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হতে পারে, কিন্তু ভগ্নাংশ হতে পারে না ।

আমরা পূর্ণসংখ্যার উপর যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগের মতো সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারি। পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ হল, 1, 2, 5,8, -9, -12, ইত্যাদি। পূর্ণসংখ্যার প্রতীক হল “ Z ”।

এখন, পূর্ণ সংখ্যা কাকে বলে, এর প্রতীক, প্রকার, পূর্ণসংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ, পূর্ণসংখ্যার সাথে সম্পর্কিত নিয়ম এবং বৈশিষ্ট্য, কীভাবে সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যাগুলিকে অনেকগুলি সমাধান করা উদাহরণের সাথে বিস্তারিতভাবে উপস্থাপন করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করা যাক।

পূর্ণ সংখ্যা কাকে বলে :-

'পূর্ণসংখ্যা' এর ইংরেজি অর্থ Integer, যা একটি ল্যাটিন শব্দ যার বাংলা অর্থ 'পুরো' বা 'অক্ষত'।

সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য মিলে যে সংখ্যার সমাহার তাকে পূর্ণ সংখ্যার সেট (Set of Integers) বলা হয়।

অর্থাৎ যে সমস্ত সংখ্যার কোন ভগ্নাংশ থাকে না সেগুলো পূর্ণ সংখ্যা

আরও পড়ুনঃ জ্যামিতি কাকে বলে?

পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ: - 1, -12, 6, 15।

শূন্য (0) পূর্ণ সংখ্যা, এটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনোটিই নয়। সংখ্যা রেখায় পূর্ণ সংখ্যা -∞ থেকে 0 এবং 0 হতে +∞ পর্যন্ত বিস্তৃত।

পূর্ণসংখ্যার প্রতীক :-

পূর্ণসংখ্যার সেটটি Z অক্ষর দ্বারা উপস্থাপিত হয় এবং এটি নীচে দেখানো হিসাবে লেখা হয়:

Z = {... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

পূর্ণ সংখ্যা কত প্রকার ও কি কি :-

সংখ্যার উপর ভিত্তি করে পূর্ণ সংখ্যাকে তিন ভাগে ভাগ করা যায়।

১) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (Positive Integers)

২) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (Negative integers)

৩) শূন্য (0)

এগুলো সম্পর্কে নীচে আলোচনা করা হলো!

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে:

শূন্য (0) সহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা যা ভগ্নাংশ ভিন্ন তাদেরকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Non-negative Integer) বলা হয়।

এই পূর্ণসংখ্যাগুলিকে কখনও কখনও Z + দ্বারা চিহ্নিত করা হয় । ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি সংখ্যারেখার 0 এর ডানদিকে থাকে। যেমন-

ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা উদাহরণ:

Z + → 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 , 25, 26, 27, 28, 29, 30, ….

আরও পড়ুনঃ ভগ্নাংশের গুণনীয়ক ও গুণিতক কি?

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা কাকে বলে:

শূন্য (0) থেকে ছোট সকল পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative Integer) বলা হয়।

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল করলে জটিল সংখ্যা পাওয়া যায়। ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা Z- দ্বারা চিহ্নিত করা হয় – . ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি সংখ্যারেখার 0 এর বাম দিকে থাকে।

ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা উদাহরণ:

Z- → -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, -15, -16 , -17, -18, -19, -20, -21, -22, -23, -24, -25, -26, -27, -28, -29, -30,…..

শূন্য (0):

শূন্য একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়। এটি একটি নিরপেক্ষ সংখ্যা অর্থাৎ শূন্যের কোন চিহ্ন নেই (+ বা -)।

পূর্ণ সংখ্যা বের করার নিয়ম :-

পূর্ণসংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত নিয়ম হল:

পূর্ণসংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম নিম্নে দেওয়া হল:

1. দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগ একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। অর্থাৎ

• দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা
• দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা

2. দুইটি পূর্ণসংখ্যার ধনাত্মক / ঋণাত্মক বিয়োগের ফলাফল সবসময় একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না।

3. দুইটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল সবসময় একটি পূর্ণসংখ্যা হবে। অর্থাৎ

• দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল একটি পূর্ণসংখ্যা
• দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল একটি পূর্ণসংখ্যা

4. শূন্য ছাড়া কোন পূর্ণসংখ্যার ভাগশেষ হিসাবে শূন্য পাওয়া যায় না।

5. কোন পূর্ণসংখ্যাকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।

6. সমান দুইটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল সবসময় 1 হয়।

7. কোন পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল একটি পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে।

8. একটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল এবং এর বিপরীত শূন্যের সমান।

9. একটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল এবং এর পারস্পরিক 1 এর সমান।

পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ :-

পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্ত চারটি মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ হল:

• পূর্ণসংখ্যার যোগ
• পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ
• পূর্ণসংখ্যার গুণন এবং
• পূর্ণসংখ্যার ভাগ

পূর্ণসংখ্যার এই ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করার জন্য কিছু নিয়ম রয়েছে। আমরা পূর্ণসংখ্যা গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের এই পদ্ধতিগুলি শেখা শুরু করার আগে, আমাদের কিছু জিনিস মনে রাখতে হবে।

যদি একটি সংখ্যার সামনে কোন চিহ্ন না থাকে, তাহলে এর অর্থ হল সংখ্যাটি ধনাত্মক। উদাহরণস্বরূপ, 5 মানে +5।

একটি পূর্ণসংখ্যার পরম মান হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা, অর্থাৎ −2 = 2 এবং 2 = 2।

1. পূর্ণসংখ্যার যোগ:

পূর্ণসংখ্যা যোগ করা হল দুই বা ততোধিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া যেখানে মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর নির্ভর করে বাড়তে বা কমতে পারে।

(+) + (+) = +

(-) + (-) = –

উদাহরণ:

5 + 9 = 14

-5 + (-9) = -14

কিন্তু যদি একটি সংখ্যার একটি ভিন্ন চিহ্ন থাকে, তাহলে এটি বিয়োগের দিকে পরিচালিত করবে এবং আউটপুটে বড় সংখ্যার একটি চিহ্ন থাকবে। উদাহরণের সাহায্যে বোঝা যাক।

(-10)+(2) = -10 + 2 = -8

(-2)+(10) = -2+10 = 8

2. পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ:

পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ হল দুই বা ততোধিক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া যেখানে চূড়ান্ত মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর নির্ভর করে বাড়তে বা কমতে পারে।

(+) – (+) = (+) + (-); বৃহত্তর সংখ্যার চিহ্ন বিবেচনা করুন

(-) – (-) = (-) + (+); বৃহত্তর সংখ্যার চিহ্ন বিবেচনা করুন

(+) – (-) = (+) + (+); উত্তর ইতিবাচক হবে

(-) - (+) = (-) + (-); উত্তর নেতিবাচক হবে

উদাহরণ:

9 – 6 = 3

-9 – (-6) = -9 + 6 = -3

9 – (-6) = 9 + 6 = 15

-9 – (6) = -15

3. পূর্ণসংখ্যার গুণ ও ভাগ:

যদি লক্ষণ একই হয়, গুণ বা ভাগ এবং উত্তর সবসময় ইতিবাচক হয়।

(+) x (+) = + এবং (+) ÷ (+) = +

(‐) x (‐) = + এবং (‐) ÷ (‐) = +

যদি লক্ষণগুলি ভিন্ন হয়, গুণ বা ভাগ এবং উত্তর সবসময় নেতিবাচক হয়।

(+) x (‐) = – এবং (+) ÷ (-) = -

(-) x (+) = – এবং (-) ÷ (+) = ‐

সমাধান করা উদাহরণ

4 x 2 = 8 এবং 4 ÷ 2 = 2

(-4) x (-2) = 8 এবং (-4) ÷ (-2) = 2

(4) x (-2) = -8 এবং 4 ÷ (-2) = -2

(-4) x (2) = -8 এবং (-4) ÷ (2) = -2

পূর্ণসংখ্যার বৈশিষ্ট্য :-

পূর্ণসংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিম্নে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হল:

১) পূর্ণসংখ্যাগুলি শূন্য বা পূর্ণাঙ্ক। যেমন: -৫, ৩, ০ ইত্যাদি।

২) পূর্ণসংখ্যাগুলির মান সর্বদা পূর্ণাঙ্ক হয়, যেমন: ১.৫ পূর্ণসংখ্যা নয়।

৩) পূর্ণসংখ্যা হতে পারে ধনাত্মক, নকলাত্মক অথবা শূন্য।

৪) দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল সর্বদা আবার একটি পূর্ণসংখ্যা হয়।

৫) একটি পূর্ণসংখ্যাকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।

৬) পূর্ণসংখ্যার গুণফল সর্বদা পূর্ণসংখ্যা হয়।

৭) পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল সর্বদা পূর্ণসংখ্যা হয় না।

1 থেকে 10 এর মধ্যে পূর্ণ সংখ্যা গুলি কি কি :-

1 থেকে 10 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা গুলি নিম্নে দেওয়া হল:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10

এই সংখ্যাগুলিই 1 থেকে 10 এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা গুলি।

০ কি পূর্ণ সংখ্যা?

শূন্য(০) একটি স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যা। শূন্য ধনাত্মক, ঋণাত্মক কোনটিই নয়।