আয়ত কাকে বলে? আয়ত এর বৈশিষ্ট্য?

প্রিয় পাঠকগণ, আজকে আমরা আলোচনা করব গণিতের একটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ ধারণা সম্পর্কে - আয়ত। আয়ত বা আয়তক্ষেত্র এমন একটি চতুর্ভুজ যার চারপাশে চারটি সমকোণ রয়েছে এবং বিপরীত দুই দিকের দৈর্ঘ্য সমান। এই সরল কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ আয়তগুলো আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক জায়গায় ব্যবহৃত হয়।

আজকে আমরা আয়ত সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করবো - এর বৈশিষ্ট্যগুলো কি কি, কোন কোন জায়গায় ব্যবহার হয়, এবং আয়তের এলাকা ও পরিমাপ কিভাবে বের করা যায়।

তাহলে চলুন আয়তের এই গভীর বিষয়টি আলোচনার আগে আমরা শুরু করি এর সাধারণ ধারণা নিয়ে।

আয়ত কাকে বলে :-

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ তাকে আয়ত বা আয়তক্ষেত্র (Rectuagle) বলে।

সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তাকে আয়ত বলা হয়। উল্লেখ্য যে, সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, সব কোণই সমকোণ হয়।

আরও পড়ুনঃ জ্যামিতি কি?

আয়ত কাকে বলে এটি এভাবেও বলা যেতে পারে, যে চতুর্ভুজের চারটি কোণ সমকোণ (৯০ ডিগ্রি) এবং বিপরীত দুই বাহু সমান্তরাল এবং সমদৈর্ঘ্যের, সেই চতুর্ভুজকে আয়ত বলে।

আয়ত সম্পর্কে একটি সাধারণ উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে:

আপনি যদি একটি কাগজের পৃষ্ঠা নিয়ে থাকেন, যেটি একই আয়তাকার আকারের। এই কাগজের চারপাশে চারটি সমান্তরাল সীমানা রয়েছে, যেগুলোর দৈর্ঘ্য একে অপরের সমান। এছাড়া প্রতিটি কোণ 90 ডিগ্রি বা সমকোণ। এমন একটি কাগজের পৃষ্ঠাকেই বলা হয় আয়তক্ষেত্র বা আয়ত।

এখানে চারপাশে চারটি সীমানার দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ। সুতরাং এটি একটি আয়তক্ষেত্রের উদাহরণ। এভাবে সাধারণ জীবনের একটি উদাহরণ দিয়ে আয়তের ধারণা বোঝানো যেতে পারে।

আয়তের ক্ষেত্রফল সূত্র :-

আয়তের ক্ষেত্রফল বা আয়তফল নির্ণয় করার জন্য নিম্নের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:

1. আয়তের দৈর্ঘ্য = l

2. আয়তের প্রস্থ = b

3. তাহলে, আয়তের চারিদিকের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

4. অর্থাৎ, আয়তফল = l x b

আরও পড়ুনঃ বর্গ কাকে বলে?

উদাহরণস্বরূপ,

যদি কোন আয়তের,

দৈর্ঘ্য = 10 সেন্টিমিটার

প্রস্থ = 5 সেন্টিমিটার

তাহলে,

এই আয়তের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

= 10 x 5

= 50 বর্গ সেন্টিমিটার

অর্থাৎ, এই আয়তের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গ সেন্টিমিটার

এভাবে আয়তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণন দিয়ে আয়তের ক্ষেত্রফল বের করা যায়। এটি হল আয়তের ক্ষেত্রফলের সূত্র।

আয়তের পরিসীমা :-

পরিসীমা বা Perimeter হল কোনো আকৃতির চারপাশের মোট দৈর্ঘ্য।

আয়তের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র:

যদি আয়তের,

দৈর্ঘ্য = l

প্রস্থ = b

তাহলে,

আয়তের পরিসীমা = দৈর্ঘ্য x 2 + প্রস্থ x 2

অর্থাৎ,

পরিসীমা = (l x 2) + (b x 2)

উদাহরণ:

যদি একটি আয়তের,

দৈর্ঘ্য = 10 সেন্টিমিটার

প্রস্থ = 5 সেন্টিমিটার

তাহলে,

পরিসীমা = (দৈর্ঘ্য x 2) + (প্রস্থ x 2)

= (10 x 2) + (5 x 2)

= 20 + 10

= 30 সেন্টিমিটার

সুতরাং, আয়তের পরিসীমা = 30 সেন্টিমিটার

আরও পড়ুনঃ সমকোণ ত্রিভুজ কাকে বলে?

আয়তের ব্যাসার্ধ :-

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আয়তের ব্যাসার্ধ বা কর্ণস্পর্শী নির্ণয় করা হয়।

এখানে,

দৈর্ঘ্য = আয়তের দৈর্ঘ্য

প্রস্থ = আয়তের প্রস্থ

তাহলে,

আয়তের ব্যাসার্ধ = √(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²

উদাহরণ:

যদি একটি আয়তের,

দৈর্ঘ্য = 10 সেন্টিমিটার

প্রস্থ = 8 সেন্টিমিটার

তাহলে,

ব্যাসার্ধ = √(10)² + (8)²

= √100 + 64

= √164

= 12.8 সেন্টিমিটার

সুতরাং, আয়তের ব্যাসার্ধ = 12.8 সেন্টিমিটার

আয়ত এর বৈশিষ্ট্য :-

আয়তের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ:

• - আয়তে চারটি সীমানা থাকে, যা সমান্তরাল দুইটি জুড়ি রেখার সমষ্টি।
• - বিপরীত দুই সীমানার দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান থাকে।
• - প্রতিটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ 90 ডিগ্রি।
• - বিপরীত দুই সীমানা পরস্পর সমান্তরাল।
• - কোন দুই সীমানার মধ্যবর্তী রেখাকে আয়তের দৈর্ঘ্য বলে এবং অপর দুই সীমানার মধ্যবর্তী রেখাকে আয়তের প্রস্থ বলে।
• - আয়তের চারপাশে চারটি কোণ থাকে যার প্রত্যেকটি 90 ডিগ্রি।
• - আয়তের সকল কোণ এবং বাহুসমূহ পরস্পর সমান।

আয়ত ও বর্গের পার্থক্য :-

1. - আয়তের কেবল দুই জোড়া বাহু সমান্তরাল এবং সমদৈর্ঘ্য, কিন্তু বর্গে সকল বাহুই সমান্তরাল এবং সমদৈর্ঘ্য।
2. - আয়তের কোনো একটি কোণ 90 ডিগ্রি হতে হবে, কিন্তু বর্গের সকল কোণই 90 ডিগ্রি।
3. - আয়তের বিপরীত বাহুসমূহের মধ্যবর্তী সমতুল্য নয়, কিন্তু বর্গে সকল বাহুর মধ্যবর্তী সমতুল্য।
4. - আয়তের কোণ ও বাহুসমূহের মাপ সমান হতে হবে না, কিন্তু বর্গে সকল কোণ ও বাহুর মাপ সমান।
5. - আয়ত ও বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র পারস্পরিক ভিন্ন।

বিস্তারিত পড়ুনঃ আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্র এর পার্থক্য?

এভাবে আয়ত খুবই নির্দিষ্ট ধরনের চতুর্ভুজ, যেখানে নির্দিষ্ট শর্তগুলো পূরণ করতে হয়। কিন্তু বর্গ আরও সাধারণ ধরনের চতুর্ভুজ। এই পার্থক্য দুটির মধ্যে প্রধান বৈশিষ্ট্যগত পার্থক্য।

গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর :-

১) আয়ত কি?

উত্তর: যে চতুর্ভুজের বিপরীত দুই দিকের দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাকে বলে আয়ত।

২) আয়তের কতগুলো বৈশিষ্ট্য রয়েছে?

উত্তর: আয়তের প্রধান ৪টি বৈশিষ্ট্য রয়েছে - ১) বিপরীত দুই দিকের দৈর্ঘ্য সমান ২) প্রতিটি কোণ সমকোণ ৩) চারটি সমান্তরাল বাহু ৪) দুইটি সমান্তরাল জোড়া বাহু।

৩) আয়তের ক্ষেত্রফল কিভাবে নির্ণয় করবেন?

উত্তর: আয়তের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ।

৪) কোন চতুর্ভুজকে আয়ত বলা হয়?

উত্তর: যে চতুর্ভুজের চারটি কোণ ৯০ ডিগ্রি এবং বিপরীত দুই দিকের দৈর্ঘ্য সমান, সেটিকে আয়ত বলা হয়।

৫) আয়তের কোণগুলো কত ডিগ্রি?

উত্তর: আয়তের প্রত্যেকটি কোণ ৯০ ডিগ্রি বা সমকোণ।

৬) কোন চতুর্ভুজকে বলে আয়তক্ষেত্র?

উত্তর: যে চতুর্ভুজের চারটি কোণ ৯০ ডিগ্রি এবং বিপরীত দুই দিকের দৈর্ঘ্য সমান, সেটিকে আয়তক্ষেত্র বলে।

৭) আয়তের কোন দুই বাহু সমান্তরাল?

উত্তর: আয়তের বিপরীত দুই বাহু পরস্পর সমান্তরাল।

৮) কোন চতুর্ভুজকে বলে সমচতুর্ভুজ?

উত্তর: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ সমকোণ, সেটিকে বলে সমচতুর্ভুজ। আয়তও হলো এক ধরনের সমচতুর্ভুজ।

৯) আয়তের দুই কোন বাহুর মাঝখানে সমতলমূল গড়ে?

উত্তর: আয়তের বিপরীত দুই বাহুর মাঝখানে সমতলমূল গড়ে।

১০) কোন চতুর্ভুজকে বলে সমদ্বিহ্ন?

উত্তর: যে চতুর্ভুজের দুইটি জোড়া বাহু সমান্তরাল ও সমদৈর্ঘ্য, সেটিকে বলে সমদ্বিহ্ন। আয়তও হলো এক ধরনের সমদ্বিহ্ন।