ত্রিভুজ!!! শব্দটি একটি পুরানো ল্যাটিন শব্দ "ট্রায়াঙ্গুলাম" থেকে এসেছে যার অর্থ তিনকোনা। ত্রিভুজ হল মৌলিক আকার যা আমরা আমাদের দৈনন্দিন জীবনে দেখতে পাই।
পিজ্জার টুকরো, কাছাকাছি পাহাড়, আপনার বাড়ির ছাদ সবই ত্রিভুজ যদি আপনি তাদের 2-মাত্রিক ছবিগুলি দেখেন।
গণিতের জ্যামিতিতে, আমরা বিভিন্ন ধরনের আকৃতি দেখতে পাই - কিছু দ্বিমাত্রিক এবং কিছু ত্রিমাত্রিক। যে আকৃতি দুটি প্যারামিটারের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যায় তাকে দ্বিমাত্রিক আকৃতি বলা হয় এবং যেগুলিকে তিনটি প্যারামিটার দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায় সেগুলিকে ত্রিমাত্রিক আকার বলা হয়।
দ্বি-মাত্রিক আকারের মধ্যে রয়েছে বর্গাকার, আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ ইত্যাদি। একটি বহুভুজ হল এমন একটি দ্বি-মাত্রিক কাঠামো যার বাহু রয়েছে। একটি ত্রিভুজ তিনটি লাইন সেগমেন্টের যেকোন জোড়ার জন্য একটি নির্দিষ্ট কোণে স্থাপন করা তিনটি রেখার অংশ নিয়ে গঠিত।
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ রয়েছে যার যোগফল ধ্রুবক যা 180°। একটি ত্রিভুজ △PQR হয়। △PQR-এর কোণের সমষ্টি হল 180°। তাই, ∠P + ∠Q + ∠R = 180°। আসুন এখন ত্রিভুজগুলির মূল বিষয়গুলি অধ্যয়ন করি।
সমতলস্থ A. B. C বিন্দু তিনটি যদি সমরেখ না হয় A ও B, B ও C এবং C ও A, এর সংযোজক রেখাংশ তিনটি দ্বারা ABC ত্রিভুজ গঠিত হয় এবং ABC প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়। A,B,C বিন্দু তিনটিকে ABC-এর শীর্ষবিন্দু এবং AB, BC, CA রেখাংশ তিনটিকে তার বাহু বলা হয়।
আরও পড়ুনঃ চতুর্ভুজ কাকে বলে?
তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ। রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে। যেকোনো দুইটি বস্তুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে। অর্থাৎ AB, BC, CA বাহুর পরিমাপের সমষ্টি ত্রিভুজটির পরিসীমা ।
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা আছে।
আবার, যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
চিত্রে, ABC একটি ত্রিভুজ এবং A, B ও C ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু। AB, BC, CA ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং <BAC, <ABC, <BCA তিনটি কোণ।
সুতরাং, একটি ত্রিভুজ তিনটি শীর্ষবিন্দু, তিনটি বাহু ও তিনটি কোনের সমন্বয়ে গঠিত।
আরও পড়ুনঃ বৃত্ত কাকে বলে?
আবার, কোনভেদেও ত্রিভূজ তিন প্রকার।
উলেখ্য সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণও সমান।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যার AB বাহু = BC বাহু = CA বাহু সমান।
সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান দৈর্ঘ্যের।
২. এর তিনটি কোণও পরস্পর সমান, প্রতিটির পরিমাপ ৬০ ডিগ্রি।
৩. এর কোণগুলোর যোগ ১৮০ ডিগ্রি।
৪. এর তিনটি উচ্চতা ও পরস্পর সমান্তরাল এবং সমান দৈর্ঘ্যের।
৫. এর মধ্যরেখাগুলো ও পরস্পর সমান এবং ত্রিভুজের কেন্দ্র হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত।
৬. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্ত একেবারে সমবৃত্ত।
৭. এর প্রত্যেকটি বাহুর মধ্যে অঙ্কিত লম্বসম এবং কেন্দ্র হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত।
৮. এর প্রতিটি কোণের বিপরীত বাহুও পরস্পর সমান।
৯. এর উপর ভিত্তি করে আরো অনেক সম্পর্ক প্রমাণ করা যায়।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দৈর্ঘ্যের বাহু দুইটির ছেদবিন্দুর বিপরীত বাহুকে তার ভূমি এবং ঐ ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণকে তার শিরঃকোণ বলা হয়।
চিত্রে <ABC-এ AB ও AC বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, BC ভূমি এবং < A শিরঃকোণ।
আরও পড়ুনঃ ট্রাপিজিয়াম কাকে বলে?
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুটি বাহু সমান হলেও তিনটি বাহু সমান নয়।
২. এর দুটি কোণ সমান হলেও তিনটি কোণ সমান নয়।
৩. সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়।
৪. একটি কোণ জেনে অপর দুটি কোণ বের করা যায়।
৫. এর উচ্চতাগুলো সমান্তরাল নয় এবং সমান লম্বর নয়।
৬. এর মধ্যরেখাগুলো সমান লম্বর নয় এবং কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে নয়।
৭. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্ত সমবৃত্ত নয়।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ, যার AB, BC ও CA বাহু তিনটি পরস্পর অসমান।
বিষমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. বিষমবাহু ত্রিভুজে তিনটি বাহুর মধ্যে একটি বাহু অপর দুটি বাহুর চেয়ে বড় বা ছোট হয়।
২. বড় বাহুর বিপরীত কোণটি ছোট বাহুর বিপরীত কোণের চেয়ে বড় হয়ে থাকে।
৩. ছোট বাহুর বিপরীত কোণটি বড় বাহুর বিপরীত কোণের চেয়ে ছোট হয়ে থাকে।
৪. এর মধ্যরেখাগুলো আলাদা আলাদা লম্বরের হয় এবং কেন্দ্র থেকে আলাদা দূরত্বে থাকে।
৫. এর উচ্চতাগুলো পরস্পর সমান্তরাল না-ও হতে পারে।
৬. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্তগুলো একে অপরের সমান্তরাল না-ও হতে পারে।
৭. এটি একটি অসমবাহু ত্রিভুজ।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। কারণ, <ABC, <BAC ও <ACB প্রত্যেক কোণই সূক্ষ্মকোণ। অর্থাৎ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 90° থেকে কম।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ, যার <ABC স্থূলকোণ কিন্তু এর অন্য দুইটি কোণই সূক্ষ্মকোণ হবে। অর্থাৎ, <BAC ও <ACB উভয়ই সূক্ষ্মকোণ।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার <ABC সমকোণ। কিন্তু এর অন্য দুইটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হবে। অর্থাৎ BAC ও BCA উভয়ই সুক্ষ্মকোণ।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ ( Hypotenuse) বলে এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুর একটিকে ভূমি (Base) ও অপরটিকে উন্নতি বা উচ্চতা ( Altitude) ধরা হয়।
চিত্রে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC বাহু অতিভুজ এবং BC বাহু ভূমি ও AB বাহু উচ্চতা।
ত্রিভুজের একটি বাহুকে একদিকে বর্ধিত করলে সংশিষ্ট শীর্ষবিন্দুতে অন্তঃস্থ কোণের সন্নিহিত যে কোণটি উৎপন্ন হয়। তাকে ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ বলা হয়।
চিত্রে, ত্রিভুজ ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে।
<ACD ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। <ABC, <BAC ও <ACB ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ। বহিঃস্থ <ACD এর সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ হচ্ছে <ACB এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ হচ্ছে <CBA ও <CAB।
চিত্র ক-এ △ABC-এর শীর্ষবিন্দু এ এর বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু D। অতএব সংজ্ঞানুসারে AD, △ABC-এর একটি মধ্যমা।
চিত্র খ-এ △ABC=~ △DEF এর মধ্যমাত্রয় হচ্ছে AD, BE ও CF। উলেখ্য ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় একটি এবং কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
B চিত্রে, △ABC ও △DEF সর্বসম। কাজেই A.B.C শীর্ষগুলো যথাক্রমে D.E.F শীর্ষের উপর পতিত হলে, AB = DE, AC = DF, BC = EF হবে এবং <A = <D, <B = <E, <C = <F হবে।
দুইটি ত্রিভুজ △ABC ও △DEF সর্বসম বোঝাতে △ABC = △DEF লেখা হয়। আবার, দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে, এদের দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিভুজক্ষেত্র দুইটিও সর্বসম হবে।
1. ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগ 180 ডিগ্রি হয়। এর কারণ হল একটি সম্পূর্ণ বৃত্তের কোণ যোগ 360 ডিগ্রি। ত্রিভুজ হল ঐ বৃত্তের অর্ধেক। সুতরাং ত্রিভুজের কোণ যোগ 180 ডিগ্রি।
2. ত্রিভুজের তিনটি বাহু থাকে যা তিনটি কোণের মধ্যে বিভক্ত হয়।
3. প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি কৌণিক বিন্দু থাকে, যেগুলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সংগ্রহস্থল।
4. ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগ, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।
5. ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর বিয়োগ, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হয়।
6. সমবাহু ত্রিভুজে তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ পরস্পর সমান হয়।
7. সমকোণী ত্রিভুজে প্রতিটি কোণের পরিমাপ 60 ডিগ্রি হয়।
8. পরিকেন্দ্র হল ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্বসমষ্টির মধ্যবিন্দু।
9. মধ্যমা হল শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর দূরত্ব।
10. লম্ববিন্দু হল শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব।
11. ত্রিভুজের কোন একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বড় হলে, বড় বাহুর বিপরীত কোণটি ছোট বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বড় হয়।
12. ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে, সেই দুইটি কোণের বিপরীত দুইটি বাহুও সমান হয়।
13. ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান হলে, সেই দুইটি বাহুর বিপরীত দুইটি কোণও সমান হয়।
14. ত্রিভুজের ভিতরে অঙ্কিত তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র এক সোজা রেখায় অবস্থিত থাকে।
15. ত্রিভুজের ভিতরে অঙ্কিত বৃত্তগুলোর ব্যাসাবলী পরস্পর সমান্তরাল হয়।
এছাড়াও আছে ত্রিভুজের অনেক গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। আমি যতটুকু মনে করি সেগুলো তুলে ধরার চেষ্টা করেছি।
পিজ্জার টুকরো, কাছাকাছি পাহাড়, আপনার বাড়ির ছাদ সবই ত্রিভুজ যদি আপনি তাদের 2-মাত্রিক ছবিগুলি দেখেন।
গণিতের জ্যামিতিতে, আমরা বিভিন্ন ধরনের আকৃতি দেখতে পাই - কিছু দ্বিমাত্রিক এবং কিছু ত্রিমাত্রিক। যে আকৃতি দুটি প্যারামিটারের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা যায় তাকে দ্বিমাত্রিক আকৃতি বলা হয় এবং যেগুলিকে তিনটি প্যারামিটার দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায় সেগুলিকে ত্রিমাত্রিক আকার বলা হয়।
দ্বি-মাত্রিক আকারের মধ্যে রয়েছে বর্গাকার, আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ ইত্যাদি। একটি বহুভুজ হল এমন একটি দ্বি-মাত্রিক কাঠামো যার বাহু রয়েছে। একটি ত্রিভুজ তিনটি লাইন সেগমেন্টের যেকোন জোড়ার জন্য একটি নির্দিষ্ট কোণে স্থাপন করা তিনটি রেখার অংশ নিয়ে গঠিত।
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ রয়েছে যার যোগফল ধ্রুবক যা 180°। একটি ত্রিভুজ △PQR হয়। △PQR-এর কোণের সমষ্টি হল 180°। তাই, ∠P + ∠Q + ∠R = 180°। আসুন এখন ত্রিভুজগুলির মূল বিষয়গুলি অধ্যয়ন করি।
ত্রিভুজ কাকে বলে :-
সমতলস্থ তিনটি বিন্দু যদি সমরেখ না হয় তবে তাদের দুইটি করে সংযোগ করে প্রান্ত রেখাংশ তিনটির সংযোগকে একটি ত্রিভুজ বলা হয়।সমতলস্থ A. B. C বিন্দু তিনটি যদি সমরেখ না হয় A ও B, B ও C এবং C ও A, এর সংযোজক রেখাংশ তিনটি দ্বারা ABC ত্রিভুজ গঠিত হয় এবং ABC প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়। A,B,C বিন্দু তিনটিকে ABC-এর শীর্ষবিন্দু এবং AB, BC, CA রেখাংশ তিনটিকে তার বাহু বলা হয়।
আরও পড়ুনঃ চতুর্ভুজ কাকে বলে?
তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ। রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে। যেকোনো দুইটি বস্তুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে। অর্থাৎ AB, BC, CA বাহুর পরিমাপের সমষ্টি ত্রিভুজটির পরিসীমা ।
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা আছে।
আবার, যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
চিত্রে, ABC একটি ত্রিভুজ এবং A, B ও C ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু। AB, BC, CA ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং <BAC, <ABC, <BCA তিনটি কোণ।
সুতরাং, একটি ত্রিভুজ তিনটি শীর্ষবিন্দু, তিনটি বাহু ও তিনটি কোনের সমন্বয়ে গঠিত।
ত্রিভূজ কত প্রকার ও কি কি :-
বাহুভেদে ত্রিভূজ তিন প্রকার।- সমবাহু ত্রিভুজ,
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও
- বিষমবাহু ত্রিভূজ ।
আবার, কোনভেদেও ত্রিভূজ তিন প্রকার।
- সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ,
- স্থূলকোণী ত্রিভুজ ও
- সমকোণী ত্রিভূজ।
বাহুভেদে ত্রিভূজ কয় প্রকার ও কি কি :-
বাহুভেদে ত্রিভূজ তিন প্রকার যা উপরে জানা গেছে, এবার এই তিন প্রকার ত্রিভূজ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো -সমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে :-
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান, তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।উলেখ্য সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণও সমান।
চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যার AB বাহু = BC বাহু = CA বাহু সমান।
সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান দৈর্ঘ্যের।
২. এর তিনটি কোণও পরস্পর সমান, প্রতিটির পরিমাপ ৬০ ডিগ্রি।
৩. এর কোণগুলোর যোগ ১৮০ ডিগ্রি।
৪. এর তিনটি উচ্চতা ও পরস্পর সমান্তরাল এবং সমান দৈর্ঘ্যের।
৫. এর মধ্যরেখাগুলো ও পরস্পর সমান এবং ত্রিভুজের কেন্দ্র হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত।
৬. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্ত একেবারে সমবৃত্ত।
৭. এর প্রত্যেকটি বাহুর মধ্যে অঙ্কিত লম্বসম এবং কেন্দ্র হতে সমান দূরত্বে অবস্থিত।
৮. এর প্রতিটি কোণের বিপরীত বাহুও পরস্পর সমান।
৯. এর উপর ভিত্তি করে আরো অনেক সম্পর্ক প্রমাণ করা যায়।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে :-
কোন ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দৈর্ঘ্যের বাহু দুইটির ছেদবিন্দুর বিপরীত বাহুকে তার ভূমি এবং ঐ ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণকে তার শিরঃকোণ বলা হয়।
চিত্রে <ABC-এ AB ও AC বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, BC ভূমি এবং < A শিরঃকোণ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দুটি বাহু সমান হলেও তিনটি বাহু সমান নয়।
২. এর দুটি কোণ সমান হলেও তিনটি কোণ সমান নয়।
৩. সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়।
৪. একটি কোণ জেনে অপর দুটি কোণ বের করা যায়।
৫. এর উচ্চতাগুলো সমান্তরাল নয় এবং সমান লম্বর নয়।
৬. এর মধ্যরেখাগুলো সমান লম্বর নয় এবং কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে নয়।
৭. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্ত সমবৃত্ত নয়।
বিষমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে :-
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই পরস্পর অসমান হলে, ত্রিভুজটিকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলা হয়।চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ, যার AB, BC ও CA বাহু তিনটি পরস্পর অসমান।
বিষমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :
১. বিষমবাহু ত্রিভুজে তিনটি বাহুর মধ্যে একটি বাহু অপর দুটি বাহুর চেয়ে বড় বা ছোট হয়।
২. বড় বাহুর বিপরীত কোণটি ছোট বাহুর বিপরীত কোণের চেয়ে বড় হয়ে থাকে।
৩. ছোট বাহুর বিপরীত কোণটি বড় বাহুর বিপরীত কোণের চেয়ে ছোট হয়ে থাকে।
৪. এর মধ্যরেখাগুলো আলাদা আলাদা লম্বরের হয় এবং কেন্দ্র থেকে আলাদা দূরত্বে থাকে।
৫. এর উচ্চতাগুলো পরস্পর সমান্তরাল না-ও হতে পারে।
৬. এর ভিতরে অঙ্কিত বৃত্তগুলো একে অপরের সমান্তরাল না-ও হতে পারে।
৭. এটি একটি অসমবাহু ত্রিভুজ।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ :-
কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হলে, ত্রিভুজটিকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। কারণ, <ABC, <BAC ও <ACB প্রত্যেক কোণই সূক্ষ্মকোণ। অর্থাৎ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 90° থেকে কম।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে :-
কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ হলে, ত্রিভুজটিকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ, যার <ABC স্থূলকোণ কিন্তু এর অন্য দুইটি কোণই সূক্ষ্মকোণ হবে। অর্থাৎ, <BAC ও <ACB উভয়ই সূক্ষ্মকোণ।
সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে :-
কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ হলে, ত্রিভুজটিকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।চিত্রে, ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার <ABC সমকোণ। কিন্তু এর অন্য দুইটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হবে। অর্থাৎ BAC ও BCA উভয়ই সুক্ষ্মকোণ।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ ( Hypotenuse) বলে এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুর একটিকে ভূমি (Base) ও অপরটিকে উন্নতি বা উচ্চতা ( Altitude) ধরা হয়।
চিত্রে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC বাহু অতিভুজ এবং BC বাহু ভূমি ও AB বাহু উচ্চতা।
ত্রিভুজের অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ কোণ :-
বহিঃস্থ কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণকে এই বহিঃস্থ কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলে।ত্রিভুজের একটি বাহুকে একদিকে বর্ধিত করলে সংশিষ্ট শীর্ষবিন্দুতে অন্তঃস্থ কোণের সন্নিহিত যে কোণটি উৎপন্ন হয়। তাকে ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ বলা হয়।
চিত্রে, ত্রিভুজ ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে।
<ACD ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। <ABC, <BAC ও <ACB ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ। বহিঃস্থ <ACD এর সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ হচ্ছে <ACB এবং বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ হচ্ছে <CBA ও <CAB।
ত্রিভুজের মধ্যমা:
ত্রিভুজের কোন শীর্ষবিন্দু এবং এর বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে ত্রিভুজের একটি মধ্যমা বলা হয়। প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা আছে।চিত্র ক-এ △ABC-এর শীর্ষবিন্দু এ এর বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু D। অতএব সংজ্ঞানুসারে AD, △ABC-এর একটি মধ্যমা।
চিত্র খ-এ △ABC=~ △DEF এর মধ্যমাত্রয় হচ্ছে AD, BE ও CF। উলেখ্য ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় একটি এবং কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
ত্রিভুজের সর্বসমতা :
একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। সর্বসম ত্রিভূজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।B চিত্রে, △ABC ও △DEF সর্বসম। কাজেই A.B.C শীর্ষগুলো যথাক্রমে D.E.F শীর্ষের উপর পতিত হলে, AB = DE, AC = DF, BC = EF হবে এবং <A = <D, <B = <E, <C = <F হবে।
দুইটি ত্রিভুজ △ABC ও △DEF সর্বসম বোঝাতে △ABC = △DEF লেখা হয়। আবার, দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে, এদের দ্বারা সীমাবদ্ধ ত্রিভুজক্ষেত্র দুইটিও সর্বসম হবে।
ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য :-
ত্রিভুজের কিছু বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ-1. ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগ 180 ডিগ্রি হয়। এর কারণ হল একটি সম্পূর্ণ বৃত্তের কোণ যোগ 360 ডিগ্রি। ত্রিভুজ হল ঐ বৃত্তের অর্ধেক। সুতরাং ত্রিভুজের কোণ যোগ 180 ডিগ্রি।
2. ত্রিভুজের তিনটি বাহু থাকে যা তিনটি কোণের মধ্যে বিভক্ত হয়।
3. প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি কৌণিক বিন্দু থাকে, যেগুলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সংগ্রহস্থল।
4. ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগ, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।
5. ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর বিয়োগ, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হয়।
6. সমবাহু ত্রিভুজে তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ পরস্পর সমান হয়।
7. সমকোণী ত্রিভুজে প্রতিটি কোণের পরিমাপ 60 ডিগ্রি হয়।
8. পরিকেন্দ্র হল ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্বসমষ্টির মধ্যবিন্দু।
9. মধ্যমা হল শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর দূরত্ব।
10. লম্ববিন্দু হল শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব।
11. ত্রিভুজের কোন একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বড় হলে, বড় বাহুর বিপরীত কোণটি ছোট বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বড় হয়।
12. ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে, সেই দুইটি কোণের বিপরীত দুইটি বাহুও সমান হয়।
13. ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান হলে, সেই দুইটি বাহুর বিপরীত দুইটি কোণও সমান হয়।
14. ত্রিভুজের ভিতরে অঙ্কিত তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র এক সোজা রেখায় অবস্থিত থাকে।
15. ত্রিভুজের ভিতরে অঙ্কিত বৃত্তগুলোর ব্যাসাবলী পরস্পর সমান্তরাল হয়।
এছাড়াও আছে ত্রিভুজের অনেক গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। আমি যতটুকু মনে করি সেগুলো তুলে ধরার চেষ্টা করেছি।
0 মন্তব্যসমূহ
Please do not enter any spam link in the comment box.