মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য?

মৌলিক সংখ্যা কি :-

সাধারণত যে সংখ্যার কেবল দুইটি আলাদা উৎপাদক ১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। আমরা উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি বোঝার চেষ্টা করি, যেমন- ২ একটি মৌলিক সংখ্যা এটা আমরা সবাই জানি। কারণ, স্বাভাবিক সংখ্যা ২ কে কেবল ১×২ = ২ আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই ২ এর কেবল দুইটি আলাদা উৎপাদক আছে- ১ এবং ২। এজন্যই ২ একটি মৌলিক সংখ্যা। এরকম- ২, ৩, ৭, ১১, ১৩,১৭,১৯, ইত্যাদি হলো এক-একটি মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ।

আমরা ৬ নম্বরের আরেকটি উদাহরণ নিতে পারি, যার দুটির বেশি গুণনীয়ক রয়েছে, অর্থাৎ ১,২,৩ এবং ৬। এর মানে হল ৬ মৌলিক সংখ্যা নয়।

এখন, যদি আমরা ১ নম্বরের উদাহরণ নিই, আমরা জানি যে এটির একটি মাত্র গুণনীয়ক রয়েছে। সুতরাং, এটি একটি মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না কারণ একটি মৌলিক সংখ্যার ঠিক দুটি গুণনীয়ক থাকা উচিত। এর মানে হল ১ মৌলিক সংখ্যা বা যৌগিক সংখ্যা নয়, এটি একটি অনন্য সংখ্যা।

তাহলে এখন আমরা মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? এসম্পর্কে সহজ ভাষায় কয়েকটি সংঙ্গা দেখে নেই। এবং এই সম্পর্কে খুঁটিনাটি যে সমস্ত প্রশ্ন আসে সেগুলো নিয়েও আলোচনা করি।

মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে :-

সহজভাবে বলা যায়, যে সংখ্যাকে অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

যে সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়, এবং অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

যে সংখ্যাকে অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

আরও পড়ুনঃ গুণিতক কাকে বলে? 

মৌলিক সংখ্যার ইতিহাস :-

মৌলিক সংখ্যা অসীমসংখ্যক, যা কিনা ইউক্লিড খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ সালের দিকে প্রমাণ করেন। সংজ্ঞানুসারে ১ সংখ্যাটি মৌলিক নয়। পাটীগণিতের মৌলিক উপপাদ্য সংখ্যাতত্ত্বে মৌলিক সংখ্যার কেন্দ্রীয় ভূমিকা প্রতিষ্ঠা করে: যে কোন অশূণ্য প্রাকৃতিক সংখ্যা n কে মৌলিক সংখ্যা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, যা মৌলিক সংখ্যার গুণফল বা তাদের বিভিন্ন ঘাতের গুণফল হিসাবে (যার মধ্যে শূণ্য ঘাতও রয়েছে)। আরও উল্লেখ্য, এই মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণের কাজটি কেবল একভাবেই করা যেতে পারে।

তথ্যপ্রযুক্তিতে বেশ কিছু শাখায় মৌলিক সংখ্যার ধারণার প্রয়োগ আছে, যেমন পাবলিক কী ক্রিপ্টোগ্রাফি, যা বড় সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষিত করার জটিলতার সুযোগ নেয়। আবার কম্পিউটারে যৌথভাবে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার প্রকল্প বিশেষ ধরণের মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গবেষণা উস্কে দিয়েছে, এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হল মার্জেন মৌলিক সংখ্যা, যার মৌলিকতা নির্ধারণ তুলনামূলকভাবে সহজতর। ২০০৯ সালের হিসাব অনুযায়ী জ্ঞাত সর্ববৃহৎ মৌলিক সংখ্যায় ১৩০ লক্ষ অঙ্ক আছে।

ইরাটস্থেনেস (২৭৬ খ্রিষ্টপূর্ব - ১৯৪ খ্রিষ্টপূর্ব) মৌলিক সংখ্যাগুলো বের করার একটা সহজ অ্যালগরিদম দিয়েছেন, সব সংখ্যাগুলোকে ছকে সাজিয়ে তার পর এক এক করে প্রথম সংখ্যাটিকে মৌলিক সংখ্যা হিসেবে চিহ্নিত করে তার সব গুণিতকগুলো কেটে দিতে হবে। উল্লেখ্য যে যদি ছকের কোন সর্বোচ্চ সংখ্যা নির্দিষ্ট করে দেয়া না থাকে তবে অ্যালগরিদমটি অনন্তকাল ধরে চলতে থাকবে (কারণ যে কোন সংখ্যার অসীম সংখ্যক গুণিতক থাকে)।

ইরাটোস্থিনিস ছাঁকনি পদ্ধতির সাহায্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় :-

ইরাটোস্থিনিস ছাঁকনির সাহায্যে খুব সহজেই মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করা যায়। এই ছাঁকনি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা থেকে অন্য আরেকটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করা যায়। এখানে আমরা ১ থেকে শুরু করে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলিকে ইরাটোস্থেনিস পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ণয় করবো। যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে উপরে মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা নিয়ে আলোচনা করেছি, তাই তাদের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে পাওয়া আরও সুবিধাজনক হবে।

আরও পড়ুনঃ ল.সা.গু কাকে বলে?

নিচে ইরাটোস্থিনিস ছাঁকনির সাহায্যে মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় পদ্ধতি বর্ণনা করা হলো।

• ধাপ ১ : প্রথমে, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা লিখুন, সারি অনুসারে এবং কলাম অনুসারে, নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।
• ধাপ ২: ১ এর উপর একটি ক্রস রাখুন, কারণ এটি একটি মৌলিক সংখ্যা বা যৌগিক সংখ্যা নয়।
• ধাপ ৩: এখন, ২ নম্বরটিকে ঘিরে ফেলুন (যা একটি মৌলিক সংখ্যা) এবং ২-এর সমস্ত গুণিতক ক্রস করুন, যেমন ২×২=৪, ২×৩=৬, ২×৪=৮, ২×৫= ১০ ইত্যাদি। এভাবে ৪,৬,৮,১০ এই সংখ্যা গুলোকে ক্রস করুন। এবং এভাবে তা চলতেই থাকবে ততদূর আপনি বের করতে চাচ্ছেন।
• ধাপ ৪: এরপর, ৩ নম্বরটিকে ঘিরে ফেলুন এবং 3-এর সমস্ত গুণের উপর একটি ক্রস রাখুন, যেমনটি উপরে আমরা করেছি। যেমন-৬,৯,১৫,২১ ইত্যাদি। যেহেতু ৩ ছাড়াও, এর সমস্ত গুণিতকগুলি যৌগিক।
• ধাপ ৫: আবার, ৫ নম্বরটিকে ঘিরে ফেলুন (যেহেতু এটিতে কেবল দুটি ফ্যাক্টর রয়েছে), এবং ৫ এর সমস্ত গুণিতকের উপর একটি ক্রস রাখুন।
• ধাপ ৬: এখন ৭ কে ঘিরে ফেলুন এবং ৭ এর সমস্ত গুণিতক অতিক্রম করুন।
• ধাপ ৭: ১১ কে ঘিরে ফেলুন এবং ১১ এর সমস্ত গুণিতক অতিক্রম করুন
• ধাপ ৮: প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যান যদি না সমস্ত সংখ্যা হয় ঘেরা বা অতিক্রম করা হয়।

মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য :-

মৌলিক সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য নীচে আলোচনা করা হল:

• ১-এর চেয়ে বড় প্রতিটি সংখ্যাকে অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়।
• ২ এর থেকে বড় প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
• ২ ছাড়া বাকি সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়। অন্য কথায়, আমরা বলতে পারি যে ২ হল একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• দুটি মৌলিক সংখ্যা সর্বদা একে অপরের অনুরূপ।
• প্রতিটি যৌগিক সংখ্যা মৌলিক গুণনীয়কগুলির মধ্যে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে এবং স্বতন্ত্রভাবে এই সমস্ত প্রকৃতিতে অনন্য।

আরও পড়ুনঃ গুননীয়ক কাকে বলে?

কোন সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা নয় :-

যে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা নয় সেগুলোকে যৌগিক সংখ্যা বলে। যৌগিক সংখ্যা হল সেই সংখ্যাগুলি যাতে ২টির বেশি গুণনীয়ক থাকে। উদাহরণস্বরূপ, ৪ একটি যৌগিক সংখ্যা কারণ এতে তিনটি গুণনীয়ক রয়েছে, ১, ২ এবং ৪। একইভাবে, ৪৪ একটি যৌগিক সংখ্যা কারণ এতে ছয়টি গুণনীয়ক রয়েছে, ১ (১×৪৪), ২ (২×২২), ৪ (৪×১১), ১১ (১১×৪), ২২ (২২×২) এবং ৪৪ (৪৪×১)।

মৌলিক সংখ্যা কি বিজোড় :-

না, সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড় নয়। ২ একটি মৌলিক সংখ্যা যা জোড়, তাই বলা যায় না যে সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড়। মজার ব্যাপার হল, ২ হল একমাত্র মৌলিক সংখ্যা যা একটি জোড় সংখ্যা।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা কী :-

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক নাম্বারের তালিকা সংখ্যা পদ্ধতিতে বেশ কয়েকটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। আমরা জানি, মৌলিক সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যেগুলির মধ্যে শুধুমাত্র দুটি গুণনীয়ক রয়েছে যা ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার তালিকা নীচে দেওয়া হল:

১ এবং ১০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২,৩,৫,৭
১০ এবং ২০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১১,১৩,১৭,১৯
২০ এবং ৩০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২৩,২৯
৩০ এবং ৪০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৩১,৩৭
৪০ থেকে ৫০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৪১, ৪৩, ৪৭
৫০ এবং ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৫৩,৫৯
৬০ এবং ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৬১, ৬৭
৭০ থেকে ৮০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৭১, ৭৩, ৭৯
৮০ এবং ৯০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৮৩, ৮৯
৯০ এবং ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৯৭

এইভাবে, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ২৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, অর্থাৎ - ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯ এবং ৯৭। এই সমস্ত সংখ্যা শুধুমাত্র ১ দ্বারা বিভাজ্য এবং সংখ্যা নিজেই। তাই এই সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয়। এছাড়াও, এগুলি হল প্রথম ২৫ টি মৌলিক সংখ্যা।

মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে মনে রাখার মতো ঘটনা :-

• মৌলিক সংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা যা শুধুমাত্র ১ দ্বারা বিভাজ্য এবং সংখ্যা নিজেই।
• প্রথম ১০ টি মৌলিক সংখ্যার মধ্যে রয়েছে: ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯।
• একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা একটি মৌলিক কি না তা নির্ধারণ করার দুটি পদ্ধতি হল বিভাজ্যতা এবং গুণিতকের পরীক্ষা।
• যৌগিক সংখ্যা হল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা দুইটির বেশি ভাজক সহ পূর্ণ সংখ্যা, যেখানে মৌলিক সংখ্যার মাত্র দুটি উপাদান রয়েছে।
• ২ হল একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• মৌলিক সংখ্যা ২ এবং ৩ হল একমাত্র দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যা পরপর ক্রমে মৌলিক।

আমরা কিভাবে মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারি ?

একটি প্রদত্ত সংখ্যা p, একটি মৌলিক সংখ্যা তা খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল p সংখ্যার গুণনীয়ক সংখ্যা পরীক্ষা করা। p যদি ঠিক দুটি গুণনীয়ক থাকে, ১ এবং p, তাহলে আমরা বলি যে p একটি মৌলিক সংখ্যা।

কেন ২ একটি মৌলিক সংখ্যা?

২ এর গুণনীয়ক হল ১ এবং ২। যেহেতু ২ এর ঠিক দুটি গুণনীয়ক আছে, তাই এটি একটি মৌলিক সংখ্যা। মজার ব্যাপার হল, ২ হল একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা।