ল.সা.গু কাকে বলে? ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতি? ল.সা.গু এর পূর্ণরূপ কি?

ল.সা.গু এর পূর্ণরূপ কি?

ল.সা.গু এর পূর্ণরূপ হলো লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক সংক্ষেপে হল ল.সা.গু (ইংরেজিতে বলে লোয়েস্ট কমন মালটিপল বা L.C.M.)।

যেকোনও সংখ্যার গুণিতক কাকে বলে ও সেগুলো বার করা আগে শিখেছি। একাধিক সংখ্যার গুণিতকগুলো বার করলে আমরা হয়ত দেখব কয়েকটা গুণিতক সবকটা সংখ্যার ক্ষেত্রেই আছে। এগুলোকে বলব এই সংখ্যাগুলোর সাধারণ (ইংরেজিতে কমন ) গুণিতক । আর লঘিষ্ঠ কথাটার মানে হল সবচেয়ে ছোট ।

ল.সা.গু কাকে বলে :-

একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি হল তাদের লসাগু ।

সংখ্যাগুলি যদি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে তাদের গুণফলটি হল তাদের লসাগু, যেমন 5 ও 13-র লসাগু হল 65 ।

সংখ্যাগুলির ছোট সংখ্যাটি দিয়ে যদি বড়টিকে ভাগ করা যায়, তাহলে বড় সংখ্যাটিই হল তাদের লসাগু এবং ছোট সংখ্যাটি হল তাদের গসাগু, যেমন 7 ও 56-র লসাগু হল 56, আর 7 হল গসাগু।

আরও পড়ুনঃ গ.সা.গু কাকে বলে?

উদাহরণ-1: 2 ও 3-এর লসাগু

• 2 সংখ্যাটির নামতা মনে করো: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18……
• 3 সংখ্যাটির নামতা মনে করো: 3, 6, 9, 12, 15, 18…..

তাহলে দেখা যাচ্ছে, 6, 12, 18, সংখ্যাগুলি 2-এর গুণিতকগুলির মধ্যেও আছে আবার 3-এর গুণিতকগুলির মধ্যেও আছে।

সুতরাং, 2 ও 3-এর সাধারণ গুণিতক হল 6, 12, 18 .....। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট (লঘিষ্ঠ) হল 6। অতএব, 6 হল 2 ও 3-এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (লসাগু)।

এখানে লক্ষ করো, 6-এর সব গুণিতকই 2 ৩ 3-এরও সাধারণ গুণিতক হবে।

উদাহরণ- 2: 12 ও 16-র লসাগু

• 12 সংখ্যাটির গুণিতক: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120....
• 16 সংখ্যাটির গুণিতক 30, 45, 60, 75, 90, 105.120..

এখানে লসাগু হল 60। 12 ও 15-র এরপরের সাধারণ গুণিতকগুলি, অর্থাৎ, 120, 180, 240, ইত্যাদি সবই হল 60-এরও গুণিতক।

উদাহরণ- 3: অন্য একটি উদাহরণ দেখো: 5 ও 7-এর লসাগু

• 5 সংখ্যাটির গুণিতক 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 ....
• 7 সংখ্যাটির গুণিতক: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63....

এখানে লসাগু হল 35। 5 ও 7-এর এরপরের সাধারণ গুণিতকগুলি, অর্থাৎ, 70, 105, 140, ইত্যাদি সবই হল 35-এরই গুণিতক।

লক্ষ করো, এখানে লসাগু হল 5 ও 7 সংখ্যা দুটির গুণফল।

আর একটি উদাহরণ দেখো 6 ও 12-র লসাগু

• 6 সংখ্যাটির গুণিতক 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54.....
• 12 সংখ্যাটির গুণিতক: 12, 24, 36, 48, 60......

এখানে লসাগু হল 12। 6 ও 12-র এরপরের সাধারণ গুণিতকগুলি, অর্থাৎ, 24, 36, 48, 60... ইত্যাদি সবই হল 12 রই গুণিতক।

আরও পড়ুনঃ ভগ্নাংশ কাকে বলে?

এখানে লক্ষ করো, ছোট সংখ্যাটি (6) হল বড় সংখ্যাটির (12) গুণনীয়ক, বা বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যাটির গুণিতক। অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যাটির দ্বারা বিভাজ্য। বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা গেলে বড় সংখ্যাটিই হবে এদের লসাগু আর ছোট সংখ্যাটি হবে তাদের গসাগু।

ল.সা.গু নির্ণয় পদ্ধতি :-

একাধিক সংখ্যার লসাগু তিন ভাবে নির্ণয় বা বার করা যায়।

প্রথম পদ্ধতি: গুণিতকগুলি বার করা

সংখ্যাগুলির বেশ কয়েকটি গুণিতক প্রথম থেকে বার করে তুলনা করে দেখো কোনগুলি সাধারণ গুণিতক। সেইগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি হল লসাগু ।

উদাহরণ: 24 ও 36 সংখ্যা দুটির লসাগু নির্ণয় করো।

• 24-এর গুণিতক 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168,192, 216, 240...
• 36-এর গুণিতক 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252,288….

দুটি সংখ্যার এই গুণিতকগুলির মধ্যে যেগুলি সাধারণ গুণিতক, অর্থাৎ, যে সংখ্যাগুলি 24-এর গুণিতক, আবার 36-এরও গুণিতক, সেগুলি হল এই দুটি সংখ্যার সাধারণ গুণিতক। এইগুলির তলায় দাগ দাও। যেমন - 72, 144, 216….

এবার দেখো এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট কোনটি। এখানে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হল 72। তাই 24 ও 36 এর লসাগু হল 72।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: ছোট সংখ্যার গুণিতককে বড় সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা

এই পদ্ধতিতে আমরা সবকটি সংখ্যার গুণিতক বার না করে শুধু ছোট সংখ্যাটির প্রথম কয়েকটি গুণিতক বার করব ও তারপর দেখব এইগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট কোন গুণিতকটি বড় সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করা যায়। এইটিই হল দুটি সংখ্যার লসাগু ।

উদাহরণ: 24 ও 36 সংখ্যা দুটির লসাগু নির্ণয় করো।

• 24-এর গুণিতক 24,48, 72, 96 120, 144 168,192,216, 240....
• 36 দিয়ে ভাগ যায়, 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252,288….

এইগুলির সবচেয়ে ছোট হল 72। সুতরাং, 24 ও 36-এর লসাগু হল 72।

তৃতীয় পদ্ধতি: মৌলিক গুণনীয়ক দিয়ে লসাগু বার করা

সংখ্যাগুলির সবকটি মৌলিক গুণনীয়ক (বা উৎপাদক) বার করে দেখো এক একটি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক সংখ্যাগুলির গুণনীয়কগুলির মধ্যে সবচেয়ে বেশী কতবার আছে। এই মৌলিক গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলির গুণফল হবে সংখ্যাগুলির লসাগু ।

উদাহরণ: 18, 24 ও 30-এর লসাগু নির্ণয় করো।

18 = 2x3x3 এখানে 2 আছে 1 বার, 3 আছে 2 বার
24 = 2 x2 x2 x3 এখানে 2 আছে 3 বার, 3 আছে 1 বার 

30= 2 X3 X5 এখানে 2 আছে 1 বার, 3 আছে 1 বার; 5 আছে 1 বার

সংখ্যাগুলির মৌলিক গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলি গুনে দেখা যাচ্ছে 18, 24 ও 30-এর মধ্যে 2 আছে সবচেয়ে বেশী 3 বার, 3 আছে সবচেয়ে বেশী 2 বার, 5 আছে সবচেয়ে বেশী 1 বার। সুতরাং, 24 36-এর লসাগু হল – 2x2x2x3x3x5= 360

সহজ পদ্ধতি:-

এই পদ্ধতিটিকে আমরা একটু সহজ করে নিতে পারি। আমরা একযোগে সংখ্যাগুলির সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কগুলি বার করব।

এর উপায় হল, সংখ্যাগুলির যেকোনও একটিকে ভাগ করা যায় এমন সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করে পর পর ভাগ করে যাব যতবার সম্ভব, যতক্ষণ যেকোনও একটিকে (বা আগের ধাপে পাওয়া ভাগফলটিকে) ভাগ করা যায় এমন মৌলিক সংখ্যা পাব।

আরও পড়ুনঃ গুণিতক কাকে বলে? 

শেষ ধাপে এক একটি সংখ্যার শেষ ভাগফলটি হবে। বা কোনও মৌলিক সংখ্যা। যতগুলি মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা গেল, ও শেষ ধাপের ভাগফলে যে মৌলিক সংখ্যাগুলি পেলাম সেইগুলির গুণফল হবে সংখ্যাগুলির লসাগু।

উদাহরণ: সহজ মৌলিক গুণনীয়ক পদ্ধতিতে 18, 24 ও 30-এর লসাগু

এখানেও আমরা পাচ্ছি 18, 24 ও 30-এর লসাগু = 2 x2 x2 x 3 x 3 x5 = 360।

এই উদাহরণে আমরা প্রথমে সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা 2 দিয়ে ভাগ করেছি। 24-কে 3 বার ভাগ করা গেছে। যে সংখ্যাগুলিকে ভাগ করা যায়নি (9 ও 15), সেগুলিকে নিচে নামিয়ে রেখেছি। এরপর 3 দিয়ে ভাগ করেছি। শেষ ধাপে আমরা মৌলিক সংখ্যা পেয়েছি 3 ও 5।

ল.সা.গু এর বৈশিষ্ট্য :-

• ল.সা.গু সর্বদা প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বড় বা সমান।
• ল.সা.গু হল প্রদত্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার একাধিক।
• দুই বা ততোধিক মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গুণফল।
• দুই বা ততোধিক কপ্রাইম সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গুণফল।
• দুই বা ততোধিক পরপর পূর্ণসংখ্যার ল.সা.গু সেই পূর্ণসংখ্যার গুণফল।
• দুই বা ততোধিক জোড় সংখ্যার ল.সা.গু তাদের নিজ নিজ অর্ধের ল.সা.গু এর দ্বিগুণ।
• দুই বা ততোধিক বিজোড় সংখ্যার ল.সা.গু হল তাদের নিজ নিজ অর্ধাংশের ল.সা.গু।
• প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনের মাধ্যমে দুই বা ততোধিক সংখ্যার ল.সা.গু পাওয়া যায়।
• দুই বা ততোধিক সংখ্যার ল.সা.গু অনন্য।
• ল.সা.গু ভগ্নাংশে সর্বনিম্ন সাধারণ হর খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়।

ল.সা.গু এর ব্যবহার :-

ভগ্নাংশের সরলীকরণ: ল.সা.গু সর্বনিম্ন সাধারণ হর খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়, যা বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করার সময় প্রয়োজনীয়।

সময় এবং দূরত্বের সমস্যা: ল.সা.গু ব্যবহার করা হয় সময় বের করার জন্য যখন দুটি বস্তু ভিন্ন গতিতে চলমান হবে।

বিভাজ্যতা: একটি সংখ্যা প্রদত্ত সংখ্যার সেট দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করতে ল.সা.গু ব্যবহার করা হয়।

ইউনিটের রূপান্তর: ল.সা.গু পরিমাপকে এক ইউনিট থেকে অন্য ইউনিটে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়, বিশেষত যখন ভগ্নাংশের সাথে কাজ করে।

নির্মাণ এবং প্রকৌশল: ল.সা.গু ইট, টাইলস বা অন্যান্য উপকরণের সর্বোত্তম স্থান নির্ধারণ করতে নির্মাণ এবং প্রকৌশলে ব্যবহৃত হয়।

উপসংহারে, সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল হল গণিতের একটি মৌলিক ধারণা যার অসংখ্য ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে।