গুননীয়ক কাকে বলে? গুণনীয়কের বৈশিষ্ট্য? গুণনীয়ক বের করার নিয়ম?

গুননীয়ক বা উৎপাদক হল সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। গুননীয়ক দুটি সংখ্যার গুনফল যা পরস্পর বিভাজ্য।

গুননীয়ক বা উৎপাদক একটি গণিতের ধারণা যা দুইটি পূর্ণ সংখ্যার গুণনক্রিয়া বা গুণফল নির্ণয় করে।

সংখ্যার গঠন, গুন, ভাগ এবং গুণগুণিতক বের করার ক্ষেত্রে গুননীয়কের ব্যবহার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এক্ষেত্রে গুননীয়ক গণিতের একটি মৌলিক ধারণা।

তো চলুন গুননীয়ক কাকে বলে? এর উদাহরণ, বৈশিষ্ট্য ও ব্যবহার সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা যাক।

গুননীয়ক বা উৎপাদক কাকে বলে:-

একটি সংখ্যা দ্বারা অপর একটি সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।

অর্থাৎ একটি সংখ্যাকে যতগুলো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় এর সব গুলোই ঐ সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক।

একটি সংখ্যাকে যে যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় ( ভাগশেষ থাকে না), সেইগুলি হল এই সংখ্যাটির গুণনীয়ক বা উৎপাদক।

আরও পড়ুনঃ মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?

গুণনীয়ক এর উদাহরণ :-

এমন কতগুলি সংখ্যা বলুন যাদের দ্বারা ১২ কে নিঃশেষে ভাগ করা যায়, কিন্তু কোন অবশেষ থাকে না। যেমন, ১,২,৩, ৪, ৬, ১২।

লক্ষ করুন ১ এবং ১২ দ্বারা ১২ বিভাজ্য। সব সংখ্যাই ১ এবং সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়। কিন্তু তা ছাড়া ২, ৩, ৪, ৬ দ্বারাও বিভাজ্য। এই ৬টি ( ১,২,৩, ৪, ৬, ১২) সংখ্যা ১২ এর গুণনীয়ক।

এদের মধ্যে ১ এবং ১২ হল অপ্রকৃত গুননীয়ক এবং অন্যগুলো হল প্রকৃত গুননীয়ক।

নিচের সংখ্যাগুলির গুননীয়ক নিজে নির্ণয় করুন।

• ৯ এর গুণনীয়ক =
• ১৮ এর গুণনীয়ক =
• ৫১ এর গুণনীয়ক =

লক্ষ্য করুন তো উপরের তিনটি সংখ্যার আলোচ্য গুননীয়ক সংখ্যার মধ্যে এমন কোন গুননীয়ক আছে যারা সবার মধ্যেই আছে? সেগুলোর চারিদিকে বৃত্ত চিহ্ন দিন।

৯, ১৮, ৫১ এর মধ্যে ১ এবং ৩ এ দুটি গুণনীয়ক সবার মধ্যেই আছে। এদের বলা হয় সাধারণ গুণনীয়ক। এবার দেখুন তো এই সাধারণ গুণনীয় দুটির মধ্যে বড় কোনটি? অবশ্যই ৩।

সাধারন গুণনীয়ক কাকে বলে :-

কোন সংখ্যা দুই বা ততোদিক প্রদত্ত সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক হলে, ঐ সংখ্যাকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারন গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।

• ৯ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৯
• ১৮ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৬, ১৮
• ৫১ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ১৭, ৫১

আরও পড়ুনঃ গুণিতক কাকে বলে? 

উপরের উদাহরণে, ৯, ১৮ এবং ৫১ এর গুণনীয়ক গুলোর মধ্যে ১ এবং ৩ প্রত্যেকের সাথে মিলে।

তাই, ৯, ১৮ এবং ৫১ এর সাধারণ গুণনীয়ক হল: ১ ও ৩।

অর্থাৎ, ৯, ১৮ এবং ৫১ এর যে গুণনীয়ক গুলো উভয়ের মিলে সেগুলোই তাদের সাধারণ গুণিতক।

আশা করি এই উদাহরণ দিয়ে সাধারণ গুণনীয়কের ধারণাটি আরও স্পষ্ট হয়েছে।

সাধারণ গুণনীয়ক সম্পর্কে কিছু তথ্য:

- দুটি অথবা তার বেশি সংখ্যার যে সকল গুণনীয়ক সকল সংখ্যার জন্য মিলে সেগুলিকে সাধারণ গুণনীয়ক বলে।
- দুটি সংখ্যার সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক হল সেই সংখ্যা যা অন্য দুটির মধ্যে বৃহত্তম।
- যদি x ও y দুটি সংখ্যার সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক হয় g, তাহলে x = a*g এবং y = b*g, যেখানে a ও b পরস্পর প্রাথমিক সংখ্যা।
- দুটি সংখ্যার সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজতে ইউক্লিড আলগোরিদম ব্যবহার করা হয়।
- সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক বের করা হলে দুটি সংখ্যার সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণফলও বের করা যায়।
- সাধারণ গুণনীয়ক সংখ্যালগ্ন, সংখ্যা ভাগ, সমসংখ্যক ইত্যাদির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক কাকে বলে :-

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক সংক্ষেপে হল গসাগু (ইংরেজিতে বলে হায়েস্ট কমন ফ্যাক্টর, বা এইচ্ সি এফ)।

একাধিক সংখ্যার গুণনীয়কগুলির তুলনা করে যে সাধারণ গুণনীয়কগুলি পাওয়া যায় (অর্থাৎ, সবকটি সংখ্যারই গুণনীয়ক হিসাবে যে সংখ্যাগুলি পাই) তার মধ্যে সবচেয়ে বড়টিকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বলা হয়। যেমন -

• ৯ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৯
• ১৮ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৬, ১৮
• ৫১ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ১৭, ৫১

উপরের উদাহরণে, ৯, ১৮ এবং ৫১ এর গুণনীয়ক গুলোর মধ্যে ১ এবং ৩ প্রত্যেকের সাথে মিলে।

তাই, ৯, ১৮ এবং ৫১ এর সাধারণ গুণনীয়ক হল: ১ ও ৩। আবার এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ৩। তাই ৩ হলো ৯, ১৮ এবং ৫১ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।

আরও পড়ুনঃ ল.সা.গু কাকে বলে?

মৌলিক গুণনীয়ক (, ইংরেজিতে প্রাইম ফ্যাক্টর) :-

কোনও সংখ্যার যে গুণনীয়কটি একটি মৌলিক সংখ্যা, তাকে মৌলিক গুণনীয়ক বলা হয়।

যেকোনও যৌগিক সংখ্যার কোনও না কোনও মৌলিক গুণনীয়ক থাকবেই। এবার দেখা যাক কোনও একটি যৌগিক সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কগুলি আমরা কীভাবে বার করব।

কোনও সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কগুলি বার করা:

আমরা শিখেছি, ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ইত্যাদি হল মৌলিক সংখ্যা। কোনও সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কগুলি বার করার পদ্ধতি হল সংখ্যাটিকে এই মৌলিক সংখ্যাগুলি দিয়ে যতবার সম্ভব ক্রমাগত ভাগ করে যেতে হবে, ও অবশেষে ভাগফল হবে ১, যাকে আর ভাগ করা যাবে না। অর্থাৎ, এক একবার ভাগ করার পরে ভাগফলকে আবার মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে।

গুণনীয়ক বের করার নিয়ম :

1. দুটি সংখ্যার মধ্যে যেটি ছোট, সেটিকে বড় সংখ্যায় ভাগ করে দেখতে হবে ভাগশেষ কি আসছে কিনা।

2. যদি ভাগশেষ না থাকে, তাহলে ছোট সংখ্যাটিই বড় সংখ্যার গুণনীয়ক।

3. যদি ভাগশেষ থাকে, তাহলে ছোট সংখ্যাটি বড় সংখ্যার গুণনীয়ক নয়।

4. এভাবে ছোট সংখ্যার চাইতে বড় সংখ্যায় ভাগ করে গুণনীয়ক খুঁজে নিতে হবে।

5. যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ না আসে, সেটিই গুণনীয়ক।

6. গুণনীয়ক হিসাবে 1 এবং নিজের ছাড়া অন্য কোন পূর্ণসংখ্যাই ব্যবহার করা যেতে পারে।

এগুলিই হল গুণনীয়ক বের করার মৌলিক নিয়মগুলি।

গুণনীয়কের বৈশিষ্ট্য :-

১. গুণনীয়ক হল দুটি সংখ্যার গুনফল। যেমন: 5 এবং 15 এর গুনফল হল 75। সুতরাং 5 ও 15 পরস্পর গুণনীয়ক।

২. গুণনীয়কে দিয়ে সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে না। যেমন: 12 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে না।

৩. গুণনীয়কের মাঝে থাকা যেকোন একটি সংখ্যা অপরটিকে সম্পূর্ণভাবে ভাগ করতে পারে।

৪. 1 এবং নিজের ব্যতীত অন্য কোন পূর্ণসংখ্যাই গুণনীয়ক হিসাবে ব্যবহৃত হতে পারে।

৫. দুটি সংখ্যার যেসব গুণনীয়ক উভয়ের জন্য মিলে সেগুলি সাধারণ গুণনীয়ক বলে।

৬. দুটি সংখ্যার সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক হল সেই সংখ্যা যা অন্য দুটির মধ্যে বৃহত্তম।

৭. গুণনীয়ক বের করতে ইউক্লিডের আলগোরিদম ব্যবহার করা হয়।

এগুলো গুণনীয়কের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য।

গুণনীয়কের ব্যবহার :-

১. গুনফল বের করা:

দুটি সংখ্যার গুনফল বের করতে তাদের গুণনীয়কগুলি বের করে গুণ করলেই সহজে গুনফল পাওয়া যায়।

২. সংখ্যা ভাগ:

কোন বড় সংখ্যাকে ছোট গুণনীয়কে ভাগ করলে সহজেই ভাগশেষ পাওয়া যায়।

৩. গুণগুণিতক বের করা:

কোন সংখ্যার গুণগুণিতকগুলি বের করতে তার গুণনীয়কগুলি খুঁজে নেওয়া হয়।

৪. সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক বের করা:

দুটি সংখ্যার সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক বের করতে গুণনীয়ক ব্যবহার করা হয়।

৫. সংখ্যালগ্ন, সংখ্যা ভাগ, সমসংখ্যক ইত্যাদির ক্ষেত্রে গুণনীয়কের প্রয়োজন হয়।

এসব ক্ষেত্রে গুণনীয়ক একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।